已知x∈R,用符号[x]表示不超过x的最大整数.若函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点,则a的取值范围是________数学解答

因为f(x)=[x]/x-a=0,故[x]/x=a；
分x>0和x<0的情况讨论,显然有a≥0.
若x>0,此时[x]≥0；
若[x]=0,则[x]/x=0；
若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故[x]/（[x]+1）<[x]/x≤1,即[x]/（[x]+1）且[x]/（[x]+1）随着[x]的增大而增大.
若x<0,此时[x]<0；
若-1≤x<0,则[x]/x≥1;
若x<-1,因为[x]≤x<-1；[x]≤x<[x]+1,故1≤[x]/x<[x]/（[x]+1）,即1≤a<[x]/（[x]+1）.
且[x]/（[x]+1）随着[x]的减小而增大.
又因为[x]一定是,不同的x对应不同的a值.
所以为使函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3.
若[x]=1,有1/2若[x]=2,有2/3若[x]=3,有3/4若[x]=4,有4/5若[x]=-1,有a>1;
若[x]=-2,有1≤a<2;
若[x]=-3,有1≤a<3/2;
若[x]=-4,有1≤a<4/3;
综上所述,3/4