x(n+1)=√(xnyn)＜(xn+yn)/2=y(n+1)
于是0＜xn＜yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2＜(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减,而yn＞0,于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A＞0
因为xn＜yn,于是xn＜A
x(n+1)=√(xnyn)＞√(xnxn)=xn
于是xn单调增,而xn＜A,于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B＞0
得A=B
即limxn=limyn
………………………………
若对xn＜A有疑惑可以进一步放大
xn＜yn＜y1
得xn有上界