已知曲线C1的参数方程是x＝2cosϕy＝3sinϕ（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐_数学解答

已知曲线C₁的参数方程是

x＝2cosϕ

y＝3sinϕ

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC的顶点都在C₂上，且A、B、C以逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，

）
（Ⅰ）求点A、B、C 的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

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解答

（Ⅰ）由已知可得：A（2cos

，2sin

）、B（ 2cos（

2π

），2sin（

2π

））、C（ 2cos（

4π

），2sin（

4π

））．
即：A（1，

）、B（-2，0）、C（1，-

）．
（2）设点P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，则 S=12cos²∅+27sin²∅+12=15sin²∅+24，
因为0≤sin²∅≤1，所以S的取值范围是：[24，39]．