（1）四边形EFGH是矩形．理由如下：
∵点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，
∴AE=CF．
∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，∠GCF=∠HAE=45°，
又∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴∠CGF=∠AHE=45°，
∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE，
∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵EH⊥AC
∴平行四边形EFGH是矩形；
（2）∵正方形边长为8

2

，∴AC=16．
∵AE=x，连接BD交AC于O，则BO⊥AC且BO=8，
∴S₂=

1

2

•AE•BO=4x．
∵CF=GF=AE=x，∴EF=16-2x，
∴S₁=EF•GF=x（16-2x）．
当S₁=S₂时，x（16-2x）=4x，
解得x₁=0（舍去），x₂=6．
∴当x=6时，S₁=S₂；

（3）①当0≤x＜8时，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．
②当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．
综上，可知y=

−2x2+20x(0≤x＜8) −2x2+52x−256(8≤x≤16)

．