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数学
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已知集合A={x|x
2
-5x+4≤0},B={x|x
2
-2ax+a+2≤0},若B⊆A,求实数a的取值范围.
人气:213 ℃ 时间:2019-09-17 07:05:25
解答
A={x|x
2
-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.
设f(x)=x
2
-2ax+a+2,它的图象是一条开口向上的抛物线
(1)若B=ϕ,满足条件,此时△<0,即4a
2
-4(a+2)<0,
解得-1<a<2;
(2)若B≠ϕ,设抛物线与x轴交点的横坐标为x
1
,x
2
,
且x
1
≤x
2
,欲使B⊆A,应有{x|x
1
≤x≤x
2
}⊆{x|1≤x≤4},
结合二次函数的图象,得
f(1)≥0
f(4)≥0
1≤−
−2a
2
≤4
△≥0
即
1−2a+a+2≥0
4
2
−8a+a+2≥0
1≤a≤4
4
a
2
−4(a+2)≥0
解得
2≤a≤
18
7
.
综上可知a的取值范围是
(−1,
18
7
]
.
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