g(x)=x^2f(x),g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x).
g(1)=1*f(1)=0=g(0),
g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,
由罗尔中值定理,存在一点ξ∈(0,1),使得
0=g'(ξ)=2ξf(ξ)+ξ^2f'(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf'(ξ)],
而ξ∈(0,1),不为0.所以,有
0=2f(ξ)+ξf'(ξ)
命题得证.