不难理解,f(x)=[(1-x)^n]cos(πx)的n阶导数中,相当于∑{[(1-x)^n]的m阶导数*cos(πx)的n-m阶导数},其中m为小于等于n的自然数.明显当m不等于n时,当x=1,[(1-x)^n]的m阶导数的值为0.因此f(1)的n阶导数=[(1-x)^n]的n阶导...可以写的具体，规范一些么？麻烦啦。就是按照正规格式来写。谢啦谢啦不好意思，我的推导有点问题，不过结果是正确的。设g(x)=(1-x)^n,h(x)=cos(πx),则f(x)=g(x)*h(x)。现用数学归纳法证明fm'(x)=C(0，m)gm'(x)h(x)+C(1,m)g(m-1)'(x)*h'(x)+C(2,m)g(m-2)'(x)*h2'(x)+……+C(m，m)g(x)hm'(x)，其中C（a,b）=a!/【b!*(a-b)!】，这个我不知道怎么打出来，ga'(x)表示g（x）的a阶导数。①当m=1时，f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)，等式成立。②假设当m=k时等式成立，当m=k+1时，f(k+1)'(x)=【C(0，k)gk'(x)h(x)+C(1,k)g(k-1)'(x)*h'(x)+C(2,k)g(k-2)'(x)*h2'(x)+……+C(k，k)hk'(x)】'=C(0,k)g(k+1)'(x)h(x)+C(0,k)g(k)'(x)h'(x)+C(1,k)gk'(x)*h'(x)+C(1,k)g(k-1)'(x)*h2'(x)+C(2,k)g(k-1)'(x)+……+C(k,k)g'(x)hk'(x)+C(k,k)g(x)h(k+1)'(x)=C(0，k+1)g(k+1)'(x)h(x)+C(1,k+1)gk'(x)*h'(x)+C(2,k+1)g(k-1)'(x)*h2'(x)+……+C(k+1，k+1)g(x)h(k+1)'(x)【注：(0,k)=(0,k+1)；(a,k)+(a+1,k)=(a+1,k+1)；（k，k）=(k+1,k+1)】。由①②得fm'(x)=C(0，m)gm'(x)h(x)+C(1,m)g(m-1)'(x)*h'(x)+C(2,m)g(m-2)'(x)*h2'(x)+……+C(m，m)g(x)hm'(x)所以fn'(x)=C(0，n)gn'(x)h(x)+C(1,n)g(n-1)'(x)*h'(x)+C(2,n)g(n-2)'(x)*h2'(x)+……+C(n，n)g(x)hn'(x)，由于gm'(x)=【(-1)^m】*n*(n-1)*(n-m+1)*(1-x)^(n-m) （n>=m）所以当m不等于n时，gm'(1)=0，所以fn'(1)=C(0,n)*gn'(1)*h(1)=(-1)^n*n!*cos(π)=(-1)^(n+1)*n!。