∵二次函数y=x²+bx+c
∴开口向上
∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0
∴ x＝1是方程x²+bx+c＝0的根且 △＞0
∴1＋b＋c＝0 且b²－4c≥0
∴b＝﹣c－1
∴(﹣c－1)²－4c≥0
∴ c≠1
∵当1≤x≤3时,总有y≤0
∴3²＋3b＋c≤0
∴9＋3(﹣c－1)＋c≤0
∴c≥3
综上所述：c的取值范围是{c|c≥3.}二次函数y=x²＋bx＋c开口向上，设y＝0，即x²＋bx＋c＝0，△＞0时图像与x轴有两个交点，设交点坐标分别为（x1 ，0） ，（x2，0）， x1 、 x2是方程ax²＋bx＋c＝0的 二根。当x1≤x≤x2 时 ，y≤0(图像在x轴的下方)。（二次函数的性质）(1,3)包含于(x1 ，x2)，所以y≤0