（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1−y

1+y

，
x=lg

1−y

1+y

．
∴f（x）=lg

1−x

1+x

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．
由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=

4−3x

x−1

的图象上，
∴x-1=

4−3(1+y)

1+y−1

．
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1−x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg

1−x

1+x

=lg（-1+

2

1+x

）（-1＜x＜1）是减函数，
g（x）=

1

x+2

（-1＜x＜1）也是减函数，
∴F（x）在（-1，1）上是减函数．
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．