高一代数问题
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根. (1)求f(x)的解析式. (2)是否存在实数m、n(m小于n),使f(x)的定义域和值域分别为[m.n]和[2m.2n]?如果存在,求m.n的值,若不存在,说明理由.
人气:411 ℃ 时间:2020-07-05 15:41:54
解答
(1)
f(x)=x ax^2+bx=x
ax^2+(b-1)x=0
x[ax+(b-1)]=0
x=0或x=(1-b)/a
方程有等根,(1-b)/a=0 b=1
x=2,y=0代入f(x)=ax^2+x,得
4a+2=0 a=-1/2
函数解析式为f(x)=-x^2/2+x
(2)
f(x)=-x^2/2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2
对称轴x=1
n<1时,函数单调递增
f(m)=2m
f(n)=2n
-m^2/2+m=2m
-n^2/2+n=2n
解得m=-2 n=0
m>1时,函数单调递减
f(m)=2n
f(n)=2m
-m^2/2+m=2n
-n^2/2+n=2m
解得
m+n=6
1在[m,n]上时,当x=1时,函数取得最大值。
f(1)=2n
n=1/4 此时x=1不在[m,n]上,舍去。
我不是他舅的错误在于:x=m时,函数值并不一定是2m,也可能是2n。同样,x=n时,函数值也并不一定就是2n.
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