解:由题意可得:
原式=∫1/(x^2+2x+3)^3/2 dx=∫[1/(x^2+2x+3)]^3/2dx
令1/(x^2+2x+3)=t,所以x^2+2x+3=1/t
即(x+1)^2=1/t-2,可得x=-1+√(1/t-2)或x=-1-√(1/t-2)
其中t的取值范围为(0,1/2]
当x>=-1时,x=-1+√(1/t-2),dx=1/2√(1/t-2)*(-1/t^2)dt
原式=∫t^3/2*(-1/t^2)*1/[2√(1/t-2)]dt
=-1/2∫1/√(1-2t)dt=1/4∫1/√(1-2t)d(1-2t)
=√(1-2t)/2+C
将t=1/(x^2+2x+3)代人可得原式=√[1-2/(x^2+2x+3)]/2+C其中x>=-1
当x