已知坐标平面内OA=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),P是直线OM上的一个动点,当PA*PB取最小值时,求OP的坐标,
并求cosAPB的值
人气:486 ℃ 时间:2019-08-19 16:07:13
解答
直线OM斜率是2,所以其方程是y=2x
P在上面,所以设P坐标是(x,2x)
所以PA向量=(1-x,5-2x),PB向量=(7-x,1-2x)
所以PA乘以PB
=(1-x)(7-x)+(5-2x)(1-2x)
=7-8x+x^2 + 5-12x+4x^2
=5x^2 -20x+12
这是一个二次函数,在x=20/(2*5)=2处取最小值,最小值是5*4-40+12
=-8
此时OP坐标为(2,4)
PA=(-1,1) PB=(5,-3)
|PA|=根号2,|PB|=根号34
所以向量PA点乘PB=-8=|PA|*|PB|*cosAPB=2倍根号17 * cosAPB
所以APB余弦值为-4/根号17
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