∵圆锥曲线的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，
∴圆锥曲线C是焦点为F（1，0）的抛物线，且p=2
∴抛物线方程为y²=4x；…（3分）
设ℓ的方程为y=2x+b，A（x₁y₁），B（x₂，y₂）
由y=2x+b代入y²=4x，消去y，整理得：4x²+4（b-1）x+b²=0…（4分）
则x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=

b2

4

…（5分）
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]

＝

5(1−2b)

…（6分）
又∵|AB|=3

5

，∴1-2b=9，∴b=-4 …（7分）
故直线ℓ的方程为y=2x-4…（8分）
综上所述：圆锥曲线C的方程为y²=4x，直线ℓ的方程为y=2x-4…（10分）