f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]/(x-x0)∧2+.+[fn(x0)/n!](x-x0)∧n+...的右边为 f在x=0处得泰勒展开式
在实际应用上,主要讨论x0=0处的展开式
例如求f(x)=e ∧x 的展开式
由于fn(x)=e∧x,fn(0)=1,(n=1,2,3.)
所以f的拉格朗日余项为Rn(x)=[e∧(θx)/(n+1)!]·x∧(n+1),(0≤θ≤1)
显见|Rn(x)|≤[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1),
它对任何实数x都有lim[(e∧|x|)/(n+1)!]·|x|∧(n+1)=0
因而limRn(x)=0
所以f(x)=e ∧x =1+(1/1!)x+(1/2!)x∧2+.+(1/n!)x∧n+...,