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数学
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设函数
f(x)=
a
•(
b
+
c
)
,其中向量
a
=(sinx,-cosx)
,
b
=(sinx,-3cosx)
,
c
=(-cosx,sinx)
,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象按向量
d
平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的
d
.
人气:233 ℃ 时间:2019-11-15 06:42:51
解答
(Ⅰ)由题意得,f(x)=a•(b+c)=(sinx,-cosx)•(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin
2
x-2sinxcosx+3cos
2
x=2+cos2x-sin2x=2+
2
sin(2x+
3π
4
).
所以,f(x)的最大值为2+
2
,最小正周期是
2π
2
=π.
(Ⅱ)由sin(2x+
3π
4
)=0得2x+
3π
4
=k.π,即x=
kπ
2
-
3π
8
,k∈Z,
于是d=(
kπ
2
-
3π
8
,-2),
|d|=
(
kπ
2
-
3π
8
)
2
+4
,k∈Z.
因为k为整数,要使|d|最小,则只有k=1,此时d=(-
π
8
,-2)即为所求.
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