过O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，连结OM
则矩形OPMN中，|OM|²=|OP|²+|ON|²=1²+（

2

）²=3
根据垂径定理，得
|AC|²=（2AN）²=4（R²-|ON|²）=4（4-|ON|²）
|BD|²=（2BP）²=4（R²-|OP|²）=4（4-|OP|²）
∴|AC|²+|BD|²=4[8-（|OP|²+|ON|²）]=32-4×3=20
因此，结合基本不等式得（|AC|+|BD|）²≤2（|AC|²+|BD|²）=40
当且仅当|AC|=|BD|=

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时，|AC|+|BD|的最大值为2

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故答案为：2

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