设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0（1）求证：_数学解答

设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
（1）求证：b+c+1=0；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c值．

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解答

（1）∵sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，又∵f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0恒成立．∴f（1）≥0，且f（1）≤0，即 f（1）=0恒成立．∴1+b+c=0．（2）∵f（3）≤0，∴9+3b+c≤0，∴9+3（-1-c）+c≤0，...