在三角形ABC中,∠A=∠B=∠C,点P为三角形内任意一点,PD垂直BC于点D,PE垂直AC于点E,PF垂直AB于点F,AB=a._数学解答

在三角形ABC中,∠A=∠B=∠C,点P为三角形内任意一点,PD垂直BC于点D,PE垂直AC于点E,PF垂直AB于点F,AB=a.
(1)求证：PD+PE+PF为定值；
（2）求出该定值.

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解答

(1)证明：连接PA、PB、PC
∴△ABC的面积=△APB面积+△APC面积+△BPC面积
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB=AC=BC
过A做AG垂直于BC于G,
所以：1/2 AG·BC=1/2 (PD +PE +PF)·BC
∴PD+PE+PF=AG
而AG是等边三角形的高,是定值
所以PD+PE+PF为定值
（2）因为△ABC是等边三角形,AB=a
∴BG=1/2 a
再根据勾股定理可以计算得出：AG=√3/2