根据双曲线的标准方程线

x2

4

-

y2

3

=1，得：a=2，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=4…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，
∵过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通经时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=8．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+8≥

2b2

a

+8=11．
故答案为：11．