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数学
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设f(x)单调增加,存在连续导数,f(0)=0,f(a)=b,g(x)与f(x)互为反函数.
证明:
∫
a0
f(x)dx+
∫
b0
g(x)dx=ab.
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解答
证明:设辅助函数
F(x)=
∫
x0
f(t)dt+
∫
f(x)0
g(t)dt−xf(x)
.
因为F'(x)=f(x)+g[f(x)]f'(x)-f(x)-xf'(x)=0,
所以F(x)=C.
又 C=F(0)=0,
故 F(x)=0,F(a)=0.
又f(a)=b,
因此
∫
a0
f(x)dx+
∫
b0
g(x)dx=ab
.
所以得证.
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