> 数学 >
已知函数f(x)＝
a
•
b
，其中
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
＝(cosx，−2cosx)．
（1）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的单调递增区间和值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=-1，且b=1，△ABC的面积S＝
3
，求边a的值．
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解答
（1）f(x)＝2cosx•cosx−2
3
sinx•cosx=1−(
3
sin2x−cos2x)=1−2sin(2x−
π
6
)（2分）
由2kπ+
π
2
≤2x−
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5
6
π，k∈Z，
又[0，
π
2
]∴单调增区间为[
π
3
，
π
2
]．（4分）
由−
1
2
≤sin(2x−
π
6
)≤1∴-1≤f（x）≤2∴f（x）∈[-1，2]（6分）
（2）∵f（A）=-1，∴A＝
π
3
，（8分）
又S＝
1
2
×1×c×sin600＝
3
，∴c=4（10分）
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13a＝
13
（12分）
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