因为

x2+1

＞x，所以f（x）的定义域为R，
因为f（-x）+f（x）=lg(

x2+1

+x)+lg(

x2+1

-x)=lg(

x2+1

+x) (

x2+1

-x)=0
所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
令y=

x2+1

-x，则y′=

2x

2 x2+1

-1＜0，所以y=

x2+1

-x是减函数，
由复合函数的单调性知f（x）为减函数．