三角形任意一个内角在区间(0,180º)取值,条件cos∠APB＝1/3说明∠APB是一个确定的锐角.底边AB为定长,顶角等于定角的三角形顶点P的轨迹是以AB为弦,所张圆周角等于该定角的圆弧,显然当且仅当P在AB的垂直平分线上时,（此时△PAB是等腰三角形）三角形PAB的面积取得最大值.此时
tan[(1/2)APB]=(1-cosAPB)/sinAPB=(1-cosAPB)/√(1-cos²APB)=1/√2
于是AB上的高=2/tan[(1/2)APB]=2√2
最大三角形的面积=(1/2)2√2×4=4√2