（Ⅰ）f'（x）=-x²+ax-3…（1分）
当a=4时，f'（x）=-x²+4x-3，令f'（x）>0得1<x<3…（2分）
∴当a=4时，f（x）的单调增区间为（1，3），单调减区间为（-∞，1），（3，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）g'（x）=lnx+1，令g'（x）>0，得x>

1

e

…（4分）
①当t≥

1

e

时，在区间[t，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，
∴g（x）_min=g（t）=tlnt…（5分）
②当0<t<

1

e

时，在区间[t，

1

e

)上g'（x）<0，g（x）为减函数，…（6分）
在区间(

1

e

，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，…（7分）
∴g(x)min＝g(

1

e

)＝−

1

e

…（8分）
（III） 由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx
∴a＝x+2lnx+

3

x

，…（9分）
令h(x)＝x+2lnx+

3

x

，则h′(x)＝1+

2

x

−

3

x2

＝

(x+3)(x−1)

x2

…（10分）

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h'（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

…（12分）
h(

1

e

)＝

1

e

+3e−2，h（1）=4，h(e)＝e+2+

3

e

h(e)−h(

1

e

)＝4−2e+

2

e

<0…（13分）
∴实数a的取值范围为(4，e+2+

3

e

]…（14分）