由题意知c=1,所以a²=b²+1,椭圆方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1,
将点(1,3/2)代入方程,整理得4b^4-9b²-9=0,即(b²-3)(4b²+3)=0,
所以b²=3,a²=4,椭圆方程为x²/4+y²/3=1.
设直线为y=(3/2)x+m,代入椭圆方程得x²/4+(3/2x+m)²/3=1,
整理得3x²+3mx+m²-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,
所以y1+y2=3/2x1+m+3/2x2+m=3/2(x1+x2)+2m=1/2m,
因此AB的中点为(-1/2m,1/4m),即AB的中点都在同一直线l：y=-1/2x上.
将y=-1/2x代入椭圆x²/4+y²/3=1,得x²=3,x=±√3,
所以y=±√3/2,即M(√3,-√3/2),N(-√3,√3/2),|MN|=√15,
因为△MNQ的面积是√3,所以点Q到直线y=-1/2x的距离为2√3/√15=2/√5.
设平行于直线l：y=-1/2x的直线l'的方程为y=-1/2x+n,
则l与l'之间的距离应满足|n|/√[(1/2)²+1²]=2/√5,解得n=±1,
所以l'的方程是y=-1/2x+1或y=-1/2x-1.
将y=-1/2x+1代入x²/4+y²/3=1整理得x²-x-2=0,解得x=-1或2,
因此直线y=-1/2x+1与椭圆的交点是Q1(-1,3/2),Q2(2,0).
同理可得直线y=-1/2x-1与椭圆的交点是Q3(1,-3/2),Q(-2,0).
故椭圆上使三角形MNQ面积为√3的点Q有四个.