如图，连接B₁D易证B₁D⊥平面AC₁，过A点作AG⊥CD，
则由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则可得AD=

5

=CD，
由等面积法算得AG=

AC×AA 1

CD

=

4 5

5

所以直线AD与面DCB₁的正弦值为

4

5

；
故答案为

4

5

．