如图，连接B₁D
∵D是A₁C₁的中点，△A₁B₁C₁是正三角形
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵平面AC₁⊥平面A₁B₁C₁，平面AC₁∩平面A₁B₁C₁=A₁C₁，
∴B₁D⊥平面AC₁，
过A点作AG⊥CD，则由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即为直线AD与平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱长为2，则AD=

5

=CD，
由等面积法得AG=

AC×AA1

CD

=

4 5

5

所以直线AD与面DCB₁的正弦值为

4

5

故选B．