∵f（x）=3x²+mx+2是二次函数，图象开口向上，对称轴是x=-

m

6

；
又f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴-

m

6

≤1，
∴m≥-6；
∴f（2）=14+2m≥14+2×（-6）=2，
∴f（2）的取值范围是[2，+∞）；
故答案为：[2，+∞）．