f（x）=ax|x-b|=

ax 2−abx，x≥b −ax 2+abx，x＜b

，由函数的解析式知，x=

b

2

两段上函数图象的对称轴，
当a＞0且b≤0时，函数在[b，+∞）是增函数，故在区间[0，+∞）上是增函数
当函数在区间[0，+∞）上是增函数时，必有a＞0，

b

2

≤0，即a＞0且b≤0
综上证明知，a＞0且b≤0是函数f（x）=ax|x-b|在区间[0，+∞）上是增函数的充要条件
故答案为：a＞0且b≤0