（Ⅰ）取CD的中点K，连结MK，NK
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∵MK、NK⊄面ADD₁A₁，AD⊂面ADD₁A₁，DD₁⊂面ADD₁A₁，
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∵MK、NK是平面MNK内的相交直线
∴面MNK∥面ADD₁A₁
又∵MN⊂面MNK，∴MN∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取A₁D₁的中点F，连结AF、EF，
则D1F

∥ .

.

CE，从而四边形CEFD₁为平行四边形，
∴EF∥CD₁，可得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD₁所成的角 
在△AEF中，可得
AF＝

5 a

2

，AE＝

17 a

2

，EF＝CD1＝

5

a 
由余弦定理，得
cos∠AEF＝

AE2+EF2−AF2

2AE•EF

＝

8 85

85

 
∴异面直线AE和CD₁所成角的余弦值为

8 85

85

．