（Ⅰ）因为f'（x）=x²-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即

b=1 4-4a+b=1

得

a=1 b=1

，
所以f（x）的解析式为f(x)=

1

3

x3-x2+x．
（Ⅱ）若b=a+2，则f'（x）=x²-2ax+a+2，△=4a²-4（a+2），
（1）当△≤0，即-1≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上单调递增，
所以，当-1≤a≤2时，f（x）在区间（0，1）上单调递增；              
（2）当△＞0，即a＞2或a＜-1时，
因为f'（x）=x²-2ax+a+2的对称轴方程为x=a
要使函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
需

a＜-1 f′(0)≥0

或

a＞2 f′(1)≥0

解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
综上：当a∈[-2，3]时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．