三角函数 正弦余弦定理
在△ABC中,若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinA·sinB=3/4,试判断△ABC的形状.
人气:223 ℃ 时间:2020-05-20 19:04:30
解答
解
(a³+b³-c³)/(a+b-c)=c²
a³+b³-c³=(a+b-c)c²=(a+b)c²-c³
a³+b³=(a+b)c²
(a+b)c²=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²-ab+b²
a²+b²-c²=ab
(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
结合余弦定理:cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2
再结合0º<C<180º可得:C=60º
A+B=120º
3/4=sinAsinB=(1/2)[cos(A-B)-cos(A+B)]
3/2=cos(A-B)-cos120º=cos(A-B)+(1/2)
∴cos(A-B)=1
结合-120º<A-B<120º可知:A=B=60º
∴该三角形为等边三角形.
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