设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求实数b的取值范围；（2）判断函_数学解答

设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求实数b的取值范围；
（2）判断函数f（x）在区间（-b，b）上的单调性，并加以证明．

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解答

（1）依题意知：当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，即 lg1-ax1-2x=-lg1+ax1+2x恒成立，而lg1-ax1-2x=-lg1+ax1+2x⇔1-ax1-2x=1+2x1+ax⇔a2x2=4x2⇒a2=4⇒a=-2(2舍去)1-ax1-2x＞0再由1+2x1-2x＞0，...