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如图,三角形ABC三边AB,AC,BC与内切圆分别切于D,E,F,FG垂直于DE于G,求证:DG/EG=BF/CF
人气:152 ℃ 时间:2019-08-18 09:29:03
解答
令△ABC的内心为O,连DF、EF分别与BO、CO于M、N.
容易证出:∠BMF=∠CNF=90°,FM=(1/2)DF、FN=(1/2)EF,∴DF/EF=FM/FN.
明显有:∠BFM=∠FEG、∠CFN=∠FDG.
由∠BMF=∠FGE=90°、∠BFM=∠FEG,得:△BFM∽△FEG,∴BF/EF=FM/EG.······①
由∠CNF=∠FGD=90°、∠CFN=∠FDG,得:△CFN∽△FDG,∴CF/DF=FN/DG.······②
①÷②,得:(BF/EF)/(CF/DF)=(FM/EG)/(FN/DG),
∴(BF/CF)(DF/EF)=(FM/FN)(DG/EG),而DF/EF=FM/FN,∴DG/EG=BF/CF.
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