点P是等边△ABC内一点,且PA=2 PB=2倍根号3 PC=4 求△ABC的边长
人气:185 ℃ 时间:2019-08-31 15:53:18
解答
作∠PAD=60°,且使D、P在AB的两侧.过A作AE⊥BP交BP的延长线于E.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC、∠BAC=60°.
显然有:∠DAB=∠PAD-∠PAB=60°-∠PAB=∠BAC-∠PAB=∠PAC.
∵AD=AP、AB=AC、∠DAB=∠PAC,∴△DAB≌△PAC,∴BD=CP=4.
∵AD=AP、∠DAP=60°,∴△DAP是等边三角形,∴∠APD=60°、DP=AP=2.
∵BD=4、DP=2、BP=2√3,∴DP^2+BP^2=BD^2,∴∠BPD=90°.
∵∠APD=60°、∠BPD=90°,∴∠APE=30°,又AE⊥PE,∴AE=AP/2=1、PE=√3,
∴BE=BP+PE=2√3+√3=3√3.
∴AB^2=AE^2+BE^2=1+(3√3)^2=1+27=28.
∴AB=2√7.
∴△ABC的边长是2√7.
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