由题得双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线是：y=±2x
圆x²+y²-6x-2y+1=0的标准方程为：（x-3）²+（y-1）²=9
∴圆心（3，1），半径r=3．
∴（3，1）到直线y=2x的距离d=

|2×3−1|

22+1

＝

5

．
故有

l

2

＝

r2−d2

＝2，得到弦长l=4；
∵（3，1）到直线y=-2x的距离d=

|(−2)×3−1|

(−2)2+1

＝

7 5

5

＞r，此时圆于直线相离．
综上得：双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线被圆x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦长为4．
故答案为：4．