∵函数f（x）=x²-2ax+3
故函数f（x）的单调递减区间（-∞，a]，
（1）由f（x）的单调递减区间（-∞，2]，
故a=2
则f（x）=x²-4x+3
又∵函数f（x）在区间[3，5]上单调递增
故x=5时，函数f（x）取最大值8-----（6分）
（2）由f（x）在区间（-∞，2]上是单调递减，
故a≥2
则f（1）=4-2a≤0
即函数f（1）的最大值为0----（12分）