（Ⅰ）∵f（x）=x+

1

x

+alnx，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1-

1

x2

+

a

x

=

x2+ax-1

x2

．
设函数f（x）在点（x₀，y₀）处的切线的斜率为2，
则

x 20 +ax0-1

x 20

=2，
即

x

20

-ax0+1=0．
欲使该方程在x∈（0，+∞）内有且仅有一根，
应满足

a＞0 △=a2-4=0

，解得a=2．
（Ⅱ）g(x)=3x+

1

x

+2lnx，其定义域为（0，+∞），
g′(x)=3-

1

x2

+

2

x

=

3x2+2x-1

x2

．g'（x）＞0，解得x＞

1

3

；
g'（x）＜0，解得0＜x＜

1

3

．
所以函数g（x）的单调递增区间为(

1

3

，+∞)，递减区间为(0，

1

3

)
所以函数有极小值g(

1

3

)=4-2ln3．