已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,的左右焦点分别为f1,f2
过f1的直线分别交双曲线的两条渐近线于PQ,若P是线段f1Q的中点,且f1Q垂直f2P则此双曲线的离心率为
人气:358 ℃ 时间:2019-08-21 23:15:45
解答
由双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,得:双曲线的渐近线方程是:x/a+y/b=0、x/a-y/b=0.
考虑到对称性,不失一般性地设点P、Q分别在渐近线x/a-y/b=0、x/a+y/b=0上.
通过作图可知:P、Q都在x轴的下方,即:P、Q的纵坐标都小于0.
∵Q在渐近线x/a+y/b=0上,∴可令点Q的坐标为(at,-bt).
显然,F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).
∴由中点坐标公式,得:P的坐标是((at-c)/2,-bt/2).
∵P在渐近线x/a-y/b=0上,∴[(at-c)/2]/a-[-bt/2]/b=0,
∴b(at-c)+abt=0,∴2at-c=0,∴t=c/(2a)=e/2.
∵F2P⊥F1Q、F1P=PQ,∴F2Q=F1F2=2c,∴F2Q^2=4c^2,
∴(at-c)^2+(bt)^2=4c^2,∴(ae/2-ae)^2+(be/2)^2=4(ae)^2,
∴a^2/4+b^2/4=4a^2,∴a^2+b^2=16a^2,∴b^2=15a^2,∴(b/a)^2=15,
∴e=c/a=√[(a^2+b^2)/a^2]=√[1+(b/a)^2]=√(1+15)=4.
∴满足条件的双曲线的离心率为4.
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