∵关于x的方程x²-（12-m）x+m-1=0的两个根都是正整数，
∴△=b²-4ac≥0，即[-（12-m）]²-4×（m-1）≥0，
∴（m-14）²≥48，
解得m≥14+4

3

或m≤14-4

3

，
设方程两根分别为x₁，x₂，由韦达定理，得
x₁+x₂=12-m≥0，x₁x₂=m-1＞0
解得，m≤12．且m＞1，
综上所述，1＜m≤14-4

3

．
∵12-m是整数，且m-1是整数，
∴m可以取2、3、4、5、6、7．
综上所述，m的值可以是：2、3、4、5、6、7．