方程f（x）=

∫

3x0

f(

t

3

)dt+e^2x 两边同时对 x 求导，可得
f′（x）=3f（x）+2e^2x，
即 f′（x）-3f（x）=2e^2x．
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
故
f（x）=e^∫3dx（∫2e^2xe^∫-3dxdx+C）
=e^3x（∫2e^-xdx+C）
=e^3x（-2e^-x+C）
=Ce^3x-2e^2x．
因为 f（0）=e⁰=1，代入可得 C=3．
故
f（x）=3e^3x-2e^2x．