A为n阶矩阵,且A^2-A=2E,证明A可以对角化
这是一类矩阵对角化的问题~请知道的稍微证明下~
人气:322 ℃ 时间:2019-12-08 21:00:58
解答
很显然,因为极小多项式没有重根.能不能给点过程,根就只有2 , -1~n阶还有其他根呢,为0,不算重根?不管n多大,A的特征值只能是2或-1,没有别的根。A的极小多项式是x^2-x-2的因子,没有重根。矩阵可对角化等价于极小多项式没有重根,这个是很基本的结论,用Jordan标准型容易证明。极小多项式没有重根可以推出矩阵的对角化,不能等价。。我具体是这里不懂(A的极小多项式是x^2-x-2的因子,没有重根。),为什么有这因果关系~Jordan标准型(不知道是什么)~~原谅我的愚笨~~看来你学得很成问题,即便不知道Jordan标准型也不应该就束手无策。首先明确,A的特征值一定是2或-1。如果Ax=λx,那么(A^2-A-2E)x=(λ^2-λ-2)x,所以λ=2或λ=-1。然后,A的极小多项式是次数最低的满足f(A)=0的多项式(这是定义!),既然A^2-A-2E=0,A的极小多项式只有三种可能:x^2-x-2或x-2或x+1,不论如何一定是x^2-x-2的因子。到这里为止只要有一点不明白就说明没学好。接下来是对角化。A一定是可以上三角化的,P^{-1}AP = [U,V; 0, W],其中U和W是对角元分别是2和-1上三角阵。再选取适当的[I X; 0 I]型的变换可以把[U,V; 0, W]约化到分块对角阵[U, 0; 0 W]。相似变换不改变极小多项式,所以f(A)=0等价于f(U)=0且f(W)=0。对于f(x)=(x-2)(x+1),直接用反证法证明f(U)=0可以推出U=2E,同样W=-E。再不会我就不管了,自己反复看。
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