如图在正方形ABCD中,E,F分别是bc cd上的点,满足EF=BE+DF,AE,AF分别与对角线BD交于M,N,
求证MN的平方=BM的平方+DN的平方
人气:384 ℃ 时间:2019-10-10 05:58:30
解答
设正方形边长=a,对角线=b
由:相似三角形DNF与ABN 可以得出:2根号三/(b-2根号三)= DF/a
同理:相似三角形BME与AMD可以得出:4/(b-4)= BE/a
由题意,BE+EC=a,且 EF=BE+DF
所以:(a-BE)^2 +(a-DF)^2 = EF^2 = BE^2+DF^2+2BE*DF
展开,整理,消除BE^2,DF^2两项得到:
a^2 - a * (BE+DF) = BE*DF
再展开:a^2 -a*DF = BE*(a+DF)
a/BE = (a+DF)/(a-DF)
将之前的BE,DF代入上式,得:(b-4)/4=b/(b-4根号3)
整理得到:b^2-(8-4根号3)b+16根号3 = 0
b1=4+2根号3+2根号7;b2=4+2根号3-2根号7
因为:b = BM + MN + DN = 4+2根号3 +MN
所以:MN = 2根号7
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