一道导数的题目f(x)在（0,+∞）有定义,对于任意x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1_数学解答

一道导数的题目
f(x)在（0,+∞）有定义,对于任意x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y)+(x-1)(y-1),又f '(1)=a≠1.
证明对任意x∈(0,+∞),f '(x)存在并求之

人气：237 ℃　时间：2020-06-18 22:51:58

解答

1+(a-1)/x能写下详细过程么。。。f(xy) = f(x) +f(y) +(x-1)(y-1) 得到 f(xy) = f(x) +f(y) + xy -x -y +1 所以f(xy) -xy= f(x) -x +f(y) -y +1 令F(u) = f(u) -u 则有F(xy) = F(x) +F(y) +1 因为f'(1)=a 所以F(u)在u=1处也可导，且导数为 a-1 下面开始写导数定义：F'(x) = lim(△x->0) [F(x +△x) -F(x)]/△x =lim(△x->0) [F(x(1 +△x/x)) -F(1x)]/△x=(1/x)lim(△x->0) {[F(x)+F(1 +△x/x))+1] -[F(1)+F(x)+1]} /(△x/x)=(1/x)lim(△x->0) [F(1 +△x/x))] -[F(1)]}/(△x/x)=(1/x)F'(1)=(a-1)/xf'(x)=F'(x)+1=1+(a-1)/x