下面只证明M（x）在[a,b]上连续,m(x) 的证明类似.
任给 x0 属于[a,b]:
情形1.f(x0) = M（x),
任给 e > 0,根据连续性,存在t > 0,使得 当 x属于 x0 的 t-邻域时,|f(x)-f(x0)| f(x0) - e = M(x0) - e.
2.如果 x < x0,显然 M(x) x0,M(x) = sup{M(x0),f(s)},x0