已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为2分之根号3,短轴一个端点到右焦点的距离是2
,(1)求该椭圆的标准方程
(2)若p是该椭圆上的一个动点,f1,f2分别是椭圆的左,右焦点,求向量PF1点乘向量PF2的最大值与最小值
人气:488 ℃ 时间:2019-08-21 06:35:52
解答
(1)易知椭圆方程为x^2/4+y^2=1
(2)设Ф为向量PF1、PF2的夹角,则PF1·PF2=|PF1|*|PF2|cosФ
由椭圆的第一定义及余弦定理有:|PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ)=2/(1+cosФ)
所以PF1·PF2=2cosФ/(1+cosФ)
显然,当P在短轴顶点时Ф达到最大,计算易知Фmax=120°;当P在长轴顶点时Ф达到最小Фmax=0°;Ф变化范围为[0°,120°]
当Ф=90°时,PF1·PF2=0
当Ф≠90°时,PF1·PF2=2cosФ/(1+cosФ)=2/[(1/cosФ)+1],其中-1/2≤cosФ≤1(cosФ≠0)
所以(PF1·PF2)max=1,(PF1·PF2)min=-2PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ)是怎么来的,Фmax=120°是怎么得来的?第一个问题在三角形PF1F2中,由余弦定理有:|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1|*|PF2|cosФ显然焦距|F1F2|=2c而|PF1|^2+|PF2|^2=(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1|*|PF2|又由椭圆第一定义有|PF1|+|PF2|=2a所以有(2c)^2=(2a)^2-2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosФ注意到a^2-c^2=b^2即有|PF1|*|PF2|=2b^2/(1+cosФ) 第二个问题设短轴一顶点为M,椭圆中心(原点)为O在RT三角形F1OM中,|F1M|=a=2,|OM|=b=1,|OF1|=c=√3显然这是一个内角为30°、60°的直角三角形(由三角函数定义也可知),其中Ф/2=∠OMF1=60°,所以Ф=120°
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