设A为n阶方阵,且A^k=O(k为正整数)求证(I-A)^-1=I+A+A^2+A^3+...A^K-1
人气:329 ℃ 时间:2020-05-22 01:59:34
解答
A^k=O.则A≠I
I-A^k=(I-A)*(I+A+A^2+A^3+...A^K-1)
而A^k=O
则(I-A)*(I+A+A^2+A^3+...A^K-1)=I
则由可逆矩阵
A*A^(-1)=A^(-1)*A=I
所以对(I-A)*(I+A+A^2+A^3+...A^K-1)=I有
(I+A+A^2+A^3+...A^K-1)=(I-A)^(-1)
得证
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