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数学
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若二次方程ax
2
+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,则自然数a=______.
人气:124 ℃ 时间:2020-05-19 02:30:53
解答
∵原方程至少有一个整数根,
∴a≠0,△=4(2a-1)
2
-4a•4(a-3)=4(8a+1)为完全平方数,
设8a+1=(2m+1)
2
(m为自然数),
∴
a=
1
2
m(m+1)
代入原方程,得
1
2
m(m+1)
x
2
+2[m(m+1)−1]x+2m(m+1)−12=0
,
解之得,
x
1
=−2+
4
m
,
x
2
=−2−
4
m+1
,
∵x
1
,x
2
中至少有一个整数,
∴m|4或(m+1)|4,
又∵m为自然数,
∴m=1,2,4或m+1=2,4.
∴m=1,2,3,4,
∴a=1,3,6,10.
故答案为:1,3,6,10.
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