f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

（1）当

a

2

＜1时，函数在[1，+∞）上单调增，∴f（x）的最小值g（a）=f（1）=1-a；
当

a

2

≥1时，f（x）的最小值g（a）=f(

a

2

)=-

a2

4

综上知，f（x）的最小值g（a）=

1-a，a＜2 - a2 4 ，a≥2

；
（2）h（a）=g（a）-a²=

1-a-a2，a＜2 - 5a2 4 ，a≥2

当a＜2时，h（a）=1-a-a²=-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

；
当a≥2时，h(a)=-

5a2

4

≤-5
∴函数h（a）=g（a）-a²的最大值为

5

4

；
（3）由（2）知，函数h（a）的单调减区间为[-

1

2

，+∞）