双曲线a平方分之x平方减b平方分之y平方等于1(a>0,b>0)的离心率为根号2,且焦点到渐近线的距离等于1
求双曲线的方程
直线L:y=kx+1与双曲线交于不同的B、C,并且B、C两点都在以双曲线的右顶点A为圆心的同一圆周上,求实数K的值
人气:190 ℃ 时间:2019-08-17 22:48:43
解答
因为双曲线的离心率为√2,即c/a=√2,所以c^2=2a^2=a^2+b^2,a=b,
又焦点到渐近线的距离为1,即b=1,所以双曲线的标准方程为x^2-y^2=1.
(2)由(1)得,A(1,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则(x1)^2-(y1)^2=1,即(y1)^2=(x1)^2-1,同理(y2)^2=(x2)^2-1.
因为AB=AC,有(x1-1)^2+(y1)^2=(x2-1)^2+(y2)^2,整理得(x1-x2)(x1+x2-1)=0
当x1=x2时,直线l的斜率不存在,此时直线与双曲线无交点,不满足条件,所以x1+x2-1=0,即x1+x2=1.
又将直线方程代入双曲线方程得:(1-k^2)x^2-2kx-2=0,有x1+x2=(2k)/(1-k^2),则有(2k)/(1-k^2)=1,解之得k=-1±√2.
又△=(2k)^2+8(1-k^2)=8-4k^2≥0,且1-k^2≠0,所以k∈[-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2],所以k=-1+√2.
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